离散数学(屈婉玲)一阶逻辑等值演算与推理 |
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前言
这节知识点比较重要吼,期末考试老喜欢考了~~ 这个我尽量写的更加详细一点~ 好好学哈 先引入定义等值式: 设A,B是一阶逻辑中任意两个任意公式,若AB是永真式,则称A与B等值,记作A B.称AB是等值式。 由定义可知,判断公式A与B是否等值,等价于判断公式A与B是否为永真式 同命题逻辑中一样,证明了一些常用的重要等值式,并用这些等值式推演出更多的等值式,这就是一阶逻辑等值演算的内容. 举个栗子: ∀xF(x)¬¬∀xF(x) ∀x∃y(F(x,y)->G(x,y))¬¬∀x∃y(F(x,y)->G(x,y))
量词否定等值式: 可以如下直观解释 对于(1)“并不是所有的 都有性质 A”与“存在 没有性质 A”是一回事. 对于(2),“不存在有性质A 的”与“所有 都没有性质 A”是一回事 量词辖域收缩与扩张等值式 这部分等值式非常重要,并且使用时要求符合成立条件,即“A(x)是含自由变量x的公式、并且x不在B中出现” 量词分配等值式 进行等值演算,除以上基本等值式外,还有以下2 条规则: 1). 置换规则: 设Φ(A)是含A的公式, 那么, 若A⇔B, 则Φ(A)⇔Φ(B). 2). 换名规则 设A为一公式,将A中某量词辖域中个体变项的所有约束 出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾出现过的个 体变项符号,其余部分不变,设所得公式为A’,则A’⇔A. 举个栗子 : 将下而公式化成等值的公式,使其不含既是约束出现又是自由出现的个体变项 .(1) ∀xF(x,y,z)一>∃yG(x,y,z) (2) ∀x(F(x,y)一>∃yG(x,y,z)) 解: (1) 公式中x,y 都是既约束出现,又自由出现的个体变项,可以通过换名消去这种情况∀xF(x,y,z)一>∃yG(x,y,z) ∀tF(t,y,z)一>∃yG(x,y,z) (换名规则) ∀tF(t,y,z)一>∃wG(x,w,z) (换名规则) (2)公式中y既有约束出现,又有自由出现,需要处理.而x 只有约束出现,z只有自由出现,保持不变.∀x(F(x,y)一>∃yG(x,y,z)) ∀x(F(x,y)一>∃tG(x,t,z)) (换名规则) 再举个栗子: 证 (1) 取A(x)= F(x),B(x)= G(x),并证明∀x(F(x)VG(x)) ∀xF(x)V ∀xG(x)不 是永真式 ,其中 F(x)和 G(x)是谓词变项. 取解释1为: 个体域为自然数集合 N,F(x):x 是奇数,G(x): 是偶数,则∀x(F(x)VG(x)) 在解释1下为真命题,而∀xF(x)V ∀xG(x)为假命题.故∀x(F(x)VG(x)) ∀xF(x)V ∀xG(x)不是永真式. 可以类似地证明(2). 在看一道不错的好题: 解: (1): 消去量词: (F(a)->G(a))∧(F(b)->G(b))∧(F(c)-G(c)) 剩下的如图: 例如: ∀x∀y(F(x)∧G(y)->H(x,y))∀x∀y∃z(F(x)∧G(y)∧H(z)->L(x,z))等都是前束范式 但是 不是!!! 前束范式要求的是所有量词都要在最外面!!! 举些栗子: 注意: 1.在(1)中使用∀对∧的分配律,得到只带一个量词的前束范式 2.∀对V不适合分配律,在(2)中要使用辖域扩张式(5.2)的第一式。 为此需通过换名使得V前后两项中的指导变元不重名.使用式(5.3)时也与此类似. 大白话就是:给你条件A1,A2...Ak 利用这么多条件给证明B; 能证明出来就称推理正确; 否则:推理不正确 推理定理就是:永真式的蕴含式 一些常用的重要的推理定律: ![]() 其中x,y是个体变项符号, c是个体常项符号, 且在A中x不在∀y 和 ∃y的辖域内自由出现. 2.全称量词引入规则(∀+) 其中x是个体变项符号, 且不在前提的任何公式中自由出现 3.存在量词消去规则( ∃-) 其中x是个体变项符号, 且不在前提的任何公式和B中自由 出现 4.存在量词引入消去规则(∃+) 其中x,y是个体变项符号, c是个体常项符号, 且在A中y和c不在 ∀x和∃x的辖域内自由出现. 自然推理系统NL 定义如下: 字母表. 同一阶语言L的字母表合式公式. 同L 的合式公式3.推理规则: (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则 (6) 化简规则 (7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10) 构造性二难推理规则 (11) 合取引入规则 (12) ∀-规则 (13) ∀+规则 (14) ∃-规则 (15) ∃+规则要特别注意使用∀-、∀+、∃-、∃+规则的条件 再来一些栗子: 一阶逻辑知识点到此就全部分享结束啦~~ 如果哪里写错了,或者对于某个知识点有更好的理解,欢迎在评论区留言吼~ 谢谢大家哈~ |
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